Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

TIHE ORIE DES E~QUATIONS DIFFE"RENTIELLES IANEAIRES.
-20 Qt-e les quantite's?I 1 22, 9 dont les deux indices sont
egaux, ne dififbrent mnutuellement que par des facteurs constants;
30 Que conse'quernment les produits
(x - a)rcp22, (ax - a)r?3,,, (x - ar~_
qui multipfient les plus hautes puissances du Iogarithme, sont des int~grales, comme le produit, (x a a)rp1
4/0 Que les exIposants fixes r,, r2, r.,, ont des differences mutuelles qui ne sont ni Dulles ni entie'res, car autrement les racines cw,
q. Wn1 ne seraient pas distinctes.
10. Connaissant la torme analylique des 6lernents d'u~n syvsti~e'I
fondarnenizal, dans le domaine du point singulier a, on en conclut,
irnimndiatement celle de 1'inte'grale generate. L'inte'grale generate est
I'a Somme de mn expressions de la forme
C ( - a r~ p y ~ l2og (x - a) ~- Y,3[Iog(X - a)],~... clog (x - a)T],'V
C e'tant une des m constantes arbitraires.
Effectuons cette somme, ordonnons-la. par rapport aux puissances
distinctes de x -a, de'terminons arbitrairement les conStantes, et nous
obtenons pour une integrale particuli'ere quelconque -la forme suivante dans le domaine du point a:
/ (x - a>r:r 41- y?,, log'X - aI) ~... ~- y1[Og (x -- '
0) C,(X- a> Y +rIo og (x - a) +. 1r4o(X - a)]
-4.( a)' qr,, o ~- y,,, Io g(.-a) ~... ~,.[ogx-a
ohles C sont n constantes, oh les r sont des exposanits fixes dont les
dilfhrences mutuelles ne sont ni nulles ni entie~res, et oh" les 9 son des
fonctions de x, monotropes dans le domaine du point-a, continues et
monogenes dans ce donmaine au point a pi-es, et paels~un dv eloppables en doubles series, converge. ntes dans, ce domaine, tecles que
C(x - a'a ~X C -x -

c o. Je'signant un nombre entier.