Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

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G. FLOQUET.

(luri element soit une fonction lineaire homnoge~ne des anciennes valeurs de cet Mkrnent et de ceux qui le pr'c" dent dans le groupe. On.
peut d'ailieurs, sans alte'rer les proprie'tes d'un groupe, y remplacer
une quLelconque des fonctions par une comblinaison line'aire, homnoge'De,
"I coefficients constants, de cette fonction et des pre'ceden~tes. Ce systebme fondamental, qui conduit s des relations si simples, dtepend (1unle
certaine 6quation de degr' _m, dite e'quadionfondamentale, relative au.
point sin gulier considers'.
II y a plus. Les proprie'tes e'lementaires (Ie ce syste~ine fondamental
particulier, corre'latif d'un point singulier a, permnettent de trouver la
forime analytique de ses elemnents dans le dornaine du. point a. C'est
ainsi qu'on a kt6 conduit 'a la proposition suivante:
Soit n le nombre des racines distinctes W, ce,,P w de I'equation
fondanientale relative au point singulier a; soient X,...q?,, leurs
ordres de multiplicite6 respectifs, la somnne X, + X+.. I,, etant
eg~ale 'a m; les elemnents du syste'me fondamental corre'latif se partagrent
en) n groupes correspondant respectivernent 'a ces racines, et les ~ e'
ments qui constituent le groupe re'pondant 'a la racine 6o, d'ordre tie
multiplicit6' X, peuvent, dans le domaine du point a, s'expriimfer soils
ces formes
(x - a~r? ~ l2og (x - a)],
(x -a)r l9j~( og (x - a) ~+ y,, Log (x - a)2,
ot Ur de'signe une valeur quelconque, mais de'terniine'e, de la quantit'e
logw, et oii les? repre'sentent des fonctions deX x, MOnotropes
dans le domnaine du point a, continues et mnonoge'nes dans ce d~omaine
au point a prbs, et que, par suite, on petit y (levelopper en doubles
series convergentes, proce'dant suivant les puissances entiberes, positives et negatives de x -- a.
11 faut observer en outre
10 Que les quantite's o peuvent s'exprirner en fonction Iin6aire, hornogene, a coefficients constants, de celtes d'entre elies oii le second
indice est I