Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

THEORIE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES. I31
Si le facteur Bi est regulier, comme alors hi(p) est egal a Hi(- p),
on aura
hi (p-.')== Hi (-pt- ' ),
et comme ai est ici egal a l'unite, et que 4' est egal a 3'- -i-,, cette
egalite deviendra
h,(p -')Hp(- p + I-'- ).
Si le facteur Bi n'est pas regulier, comme alors les fonctions hi(p) et
H(!p) se reduisent a une meme constante, on aura encore
/,i(p ')-,(- p + '-I- ).
Done, dans tous les cas, hi(p - '7'), qui entre dans G'(p), se deduit de
la quantite correspondante Hi(p - n), qui entre dans '(p), en changeant p en -p 4- i''-. Cela ayant lieu pour i =, 2, 3,..., m, on
en conclut
(P)= g' (-p + - I).
Cette identite etant etablie, faisons croitre indefiniment le nonibre
arbitraire n; l'identite subsistera, et, comme les variables c'(p), g'(p)
et [' qui y figurent ont des limites C(p), g(p) et 3, elle aura lieu
entre ces limites; d'ou
C(p)-=g( — + -I)
THEOOREME II. - Si l'equation diff'rentielle P=o a toules ses integrales regulieres, il en est de mdme de 'e'quation adjointe ==_ o.
La demonstration resulte des theoremes I et II du n~ 97, comme au
n~ 66.
Enfin le theoreme IV du n~ 98 se transforme evidemment de la maniiere suivante:
THE1OREiME III. - Pour que I'equation diffeerentielle P = o, d'ordre m,
ayant unefonction determinante de degre, ait exactement y integrales
regulieres lineairement independantes, ilfaut et il suffit que l'equation
adjointe - o admette loutes les inte'grales d'une e'quation differentielle
d'ordre m -- y, ayantpourfonction determinante une constante.
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