Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

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G. FLOQUET.

exister entre le degre' - de la fonction de'termninante de 1'e'quatioti
P o, et le nonlre s de ses inte'grales re'gulib'res line'airement ind6-e
pendantes.
Si, en effet, on decompose P en facteurs symboliques tels que
la decomnposition, quelle qu'eIle soit, renfermera, corume on 1'a vu,y
facteurs re'guliers; en outre, sur ces -' facteurs, un groupe de s au plus
peut e'tre rejete' "a la fin de la dlecOnposition. Done 'y - s est le nombre
des facteurs re'guliers qui ne peuvent faire partie de ce grouipe final.
Autrernent, mettons P sous la forme
P __QD,
donne'e par le tlie'oreme precedent; 7/ - s est le nomIbre des facteurs r6'guliers qui entrent dans Q. Ainsi, la difference en question tient 'a la
presence de facteurs re'guliers dans une decornposition de Q.
Si j'observe que les fonctions de'terminantes de D et de Q sont reslpechivement de degre's s et -y - s, je puis forrnuler les deux the'ore'mes
qui suivent
THiL,'oRE'AE Ill. - Pour que I'e~qua lion' d4/jrentielle P =o, d'ordre m,
ayant une fonction dderminante de deg-re' 7~, admeute 7j -* p inte'grales
re'gulieres linedairement indeoendantes, ilfaut et il suffit que l'cxpression
P soil de la Jorme P =QD, ou't Q et D sont de me'me nature que P, Q =o
e'ant d'ordre m - 7-i — p.,, n 'ayant aucune inte'grale redguhiere et ayant
unefonction de'terminante de degre v..
THE'ORE'3E IV. - Pour que e'dquatiOn, diffc'rentielle P __o, d'ordre m,
ayant unefonction de'terminant~e de degrd 7I, admette exaclement des mindgrales re'gulidres line'airemeni indepenclanies, ilfaut et it suft que l'expression, P soit de la forme P =QD, odt Q et D sont de meme nature que P,
Q dtant d'ordre rn - 71 et ayant pour Jincdion ddterminante une consianie.
Je de'montrerai encore cette proposition
THE'OBRE'ME V. - Les s itne'grales re'gulie'res lind'ajiement inddipen