Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

TIIE"OBIE DES EQIATIO AS JJ11FERENTIELLES LINEAIRES. 127
oii les, s derniers sont re'guliers.- Si je pose alors,
A,. AA I), A,,, Aj, --- As~j
j 'aurai
P - QI).
L'expression D est d'ordre s et coniposee de s facteurs reguliers; elle
est done (no 90) de la forine
ds'yPt ds-IY p.
et, d'apre's le the'oreime II du no 97, l'-equation D =o a toutes, ses inteograles, re'gulieres.
L'expres'sion Q est d'ordre in -- s; si I'on effectue 1'ope'ration QD, et
qu'on identifies avec P, on obtient des e'galite's qui montrent que les,
coefficients de Q, conmme ceux de P et de D, pre'sen tent le caracte~r'e des
fonetions, rationnelles; en outre, Q = o n'a aucune integrale re'gulie're,
sans, quoi on pourraitierriner une d'COrnposition de Q par un facteur
regulier ani moins, et, par suite, dans P QD, on en aurait plus de s "a
la fin, ce qui est 'impossible (no 96, prop. II).
Les deux composantes, Q et D posse'dent done bien les -propri~te's
enoncees..20 La condition est suftisante.
Soit, ep effet,
P =- 01)
D — 7o ayant toutes, ses, inte'grales re'gilie'res, et Q o n'en ayant aucune. Toute solution de P -=o qui satisfait 'a D =o est re'gulie're. Toute
solution de P — o qui ne satisfait pas 'a D =o satisfait 'a I'une des
equations D =it, obtenues, en rempla~ant it par les, diverses integrales
de Q =o. Or, par lypothe'se, auceune de ces, integrales n'est re'gulie're.
D'a-,utre part, sidans D on remplace y par une fonction de torme re'gulie~re, on o1)lient (no 46) Unle expression de meime forme. Done aucune
valeur re'gulib're de y ne peut rendre D d'gal ',I it. Done les, equations
D it nWont aucune solution de forme re'guliebre, et, par suite, les seules,
in te'rales, re'guli'e'res de P =o sont les, s de D -o.
II est facile d',apercevoir la cause de la difference j-s qui pent