Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

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G. FLOQUET.

or, ces integrales sont regulieres; done les s derniers facteurs A,,
A2, A, A, sont reguliers, et, par consequent, on a GZs.
Je dis maintenant qu'on ne peut avoir cr > s.
Supposons en effet qu'il existe une decomposition de P en facteurs
premiers symboliques de la forme
(4-I+x -
dr y V,,
o less s4- k derniers seraient r6guliers:
P B,, B,,_.l. Bs+~,...B, B B.
Representons par
( I'I, wiH', 0"'.2..., (V,(ri.. * ( 2 \'S-k
des solutions appartenant respectivement aux equations
B, - o, PB2 o, Bn3 o..., Bs.A o.
Ces solutions sont regulieres et de la forme z Pq(x), Q(x) remplissant
les conditions d6ja indiquees. II en resulte que les rapports tels que
( i (A>2 '. ' ( 1i ( i
(,' (1'~ ~. (,'ic'est-a-dire les integrales
1(w' 2 tY '. "'.. ', (W.-k
des equations deduites successivement l'une de l'autre par la substitution connue, sont des integrales regulieres de la meme forme xPd (x).
Done, d'apres le theoreme reciproque du n0 18, I'equation qui
donne Ws+A, ayant au moins une integrale reguliere, celle qui donne
+s-,,_, en aura au moins deux; celle qui donne ws+,-2 en aura alors
au moins trois, etc., de sorte que celle qui donne w,, c'est-a-dire
P = o, en aurait au moins s + k, cc qui est contre l'hypothese.
On conclut de la que G est exactement 6gal a s.
Remarque. - On peut remarquer que cette derniere proposition est
encore vraie, lors meme que les facteurs premiers symboliques ne sont
pas de la forme
drx, C,
drVIX