Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

TILEOnIE DES E]QUATIONS DIFFERENTIELIAES LINEAIRES.

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PROPOSITION II. - Le nombre s des integrales regulieres lineairement
independantes de l'equation P = o est egal au plus grand nombre c de
facteurs reguliers consecutifs susceptibles de terminer une meme decomposition de l'expression P en facteurs symboliques de la forine
d >' --- Q
L'equation 1P o, ayant s integrales regulieres, admet (nO 17) une
solution I, - xI' (x, ox U O, (x) est holomorphe dans le domaine du
point zero et non nul pour x - o. Je pose --,,Sfz dx, et j'obtiens
l'equation Q(-) - o, qui a (n~ 18) s -- integrales regulieres lineairement independantes.
Q o, ayant s - integrales regulieres, admet une solution. _ X.T?, (x). Je pose z =, ft dx, et. j'obtiens l'equation R(t)- o,
qui a s - 2 integrales r6gulieres lineairement ind6pendantes.
En continuant de la sorte, j'arrive a l'equation H(Iu) o, qui a une
integrale reguliere, et admet par consequent une solution v, — t%,'(x).
Puis, posant u -= vf dx, j'obtiens une equation dont je prends
une solution quelconque m,_,, mais de la forme 'x'(x), sans logarilhmes, et faisant de meme pour les equations suivantes, deduites
successivement l'une de l'autre par les substitutions analogues, j'en
tire V,~+_, s,+3, ~..,,,,.
Ayant ainsi calcule6 v, 'v,, 3,..., c.,, je forme la decomposition de
P en facleurs premiers correlative du systeme fondamental, -<-,,, V.- (,fvd./,..., y.., -vf.,dxf..f,,,cdx
Soit P - A,,,,.7 A... A, A, cette decomposition. Ses facteurs A sont
tels que
d~~'v: ~Ci:I.
De plus, les equations
A, = ~-o, A2==o,..., As-o
admettent respectivement les integrales
1tl = 2,-2 i 2, ~V, = '..... ( *. *.. (,
6.