Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

1 '22 G. FLOQUET".r
PROPOSITION I. -- Le degrdee de la bcindtriinede I'c'quctdion P o est dgal au nombre total]j des facteurs re'guliers qui enirentI
dans une mdme de'eomp-osition dle l'expr-ession P en facteurs symboliques
de la forine
Conside'rons, en effet, une pareille, decomposition
IP= A,, X'1-.AA[t
contnant faceursrguiliers. Dans les. coefficients des facteurs non
reguliers, et seulernent dans ceux qui ren ferment un nombre infini de
puissances n'aegatives de x, supprimons po)ur un instant les puissances
de x-', dont 1'exposant est supreur, en valeur albsolue, ~tnnmbre
arbitraire n, et soit
l'expression composee avec les facteurs dont queiques-uns sont ainsi
modifies. L'expression. P' est de me'me nature que l'expression P, et
les facteurs re'guliers qui entrent dans P' coincident avec les j facteurs
reguliers qui figurent dans P. D'apre's le no 94, la fonction de'terminante de P' est d'un degr6 ' -/Ogal 'a la somme des degre's des fonctions
de'ternuinantes des expressions B; or, les B non reguliers ont une fonction determinante constante, et les B re'guliers l'ont du premier degre';
done la somme en question se re'duit. au nombrej des facteurs re'guliers, et I'on a
Faisons maintenant croitre n inde'finiment: 1'6'galite' precedente, ayant
lieu queique grand que soit n, aura lieu encore 'a la limite, et, par
consequent, comme -7' a pour limite 71, on aura
7 -j
Gorollaire. -- Le nombre des lacteurs re'guliers qui entrent dans une
nmeme decomposition de l'expression P en facteurs symboliques de la
forrne
est constanit, (juelle que soit cette d('iCClj)ositionl.