Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

THEORIE DES E~QUAT IONS DIFFEPRENTIELLES LINE"AIRES.15

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les fonctions Pi e'tant holornorphes dlans le domaine du. point zero et
pouvant k1re nulles pour x o. D'aillcurs, pour 'ramenier tine pareille
expression 'a la forme normale, il suffira de la multiplier par xlri.
91. Nous avons, de'montr6' au n0 36 Ia proposition suivante, due 'a
M. Frbbeniuis
Si une exp~ression di'fterenuielle est compose'e d'expressionis di//drentielles
de forme 7normale, elie a elle-merne laforme normale, et safonction deL
terminante est le, produit des fonctions ddierminantes des expressions
composantes.
Admettant ce the'or'eme, je conside'rerai des expressions cormposantes,
non plus de forme normale, rnais de la forme
dX1 P) dxIx"1- I F,h
ohle premier coefficient est 1'unit', les, autres s ~eopn nsre
procedant suivant les puissances entib'res de x, mais ne con tenant qu'un
nombre limite' de puissances negatzives; puis, J.'expression resultante
6tant e'videmnment aussi de cette formne, je chercherai quelle relation
existe, dans ce cas, entre sa fonction determinante et celles des comnposantes. La relation est encore simple, coinme je vais le montrer.
92. J'examine d'abord une expression P compose'e uniquement de
facteurs re'guliers
P Am All, All,, A2AA, A, -I -Y (1 1, 2,3,.. in).
Soit
Yl ( Y2 VI fv2dx,.., - v fQ2 d J....fe,,,cX
le syste'me fondamental. corre'latif de cette decom position de P.
Comment doit-on modifier les facteurs A pour que leurs nonvelles,
expressions aicut la forme normale et en me'rn temps produisent, par
leur composition, la forme normale X"n'P de P?
Je multiplie chaque facteur A par x, et je de'signe par A" les produiits; ces produits out la formie normale. Si je les compose, l'exprlession resultante
I5.