Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

6

G. FLOQUET.

dewx, lolomorphe dans son domnaine, qui satisfait 'a e'6quatlion P = o
les valeurs de cette fonction et (le ses m -- i preniieres de'iive'es alu
point xO ktant. arbitiraires.
Faisons de'crir~e 'a la variable x un chemin quelconque, allant (hi
point xO au point X, coinpris dans la region T et tie con tenant aucun
point singulier. Les valeurs des coelficients p au point xo e'tant connues, le the'ore'ne prece(Ient permet de dd'inir., en chaque point du
chemrin xO X, la vateur d'une fonction y, con tinne et rnonogb~ne 'le long
de ce chemin, satisfaisant constaminent "a e'6quation. P =o, et ayant an
point xO, aiinsi que ses m - ipremieres- de'ri'vees, des valeurs arbitraires.
C'est cette fonction y qui' constitue une solution ou une integrale particulie're de e'~quation diUY~rentielle P =o.
Les diverses integrales particulie'res se distingueront miutuellement,
par les valeurs initialesyoyy~ 7, choisies en un inme"M
point xO, et l'integrale generate renfeerme ces m constantes arbitraires.
3. Toute integrale particulib're y poss'ede d'ailleurs les propri'te's
suivantes
Si, les points xO et X restant fixes, le chemin. xO X vient "a se, de'for-.
rmer sans franchir aucun point, singyulier et sans sortir de la region T,
ce chemin conduit constamnment en X 'a la me'me valeur de la fonction y.
Cela a lieu en particulier lorsque le point final X coincide avec le
point initial x,. De plus, si le chemin. ferme xo ~Xt0 est tel qu'on puisse
le re'duire an seul point x0 sans lui faire franchir aucun point si-ngnlier et sans le faire sortir de la region T, la ronction y reprend en xO sa
valeur initiale y, apres la revolution de la. variable, comme chiaque coeffici ent P.
La fonction y, est d'veloppable en une s'rie, procddant suivant les
puissances enti'eres et positives d~ x -- xo, et convergente dans tout
cercie de'crit du poinL~xo commre centre, compris dans la region T et ne
renfermant aucun point, singulier.
La fonction y e6tant hiolomorpbe dans la partie T du plan, 'a contour
simple, excepte6 pour les points singuliers, si l'on de'crit autour (le chacnn de ces points une circonf6rence infiniment petite, et qu.'on supprime de l'aire 1 tous les cercles ainsi obtenus, on pourr~a, an moyen de
coupur~es convenAblement pratique'es, de'duire de la partie T du Iplan