Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

I I!I

G. FLOQUET.

entre le degre' de e'~quation determinante et le nombre des inte'graes
reguli'eres line'airenment inde'pendantes.
Jeo rappelle d'abord que, pour que I'equation du premier ordre
dy
oile coefficient a est une double s'erie proc'dant suivant les puissances
-enLie'res positives et negatives de x, et convergente dans le dornaine
du point singulier zero, ait ses integrales re'gulie'res, il faut et ii suffit
que ce coefficient soit de la forme
a - -
x
a e'tant une fonction qui ne renferme dans son de'veloppernent que des
puissances positives de x et qui peut e'tre nulle pour x ==o.
Quand cette condition est remplie, e'~quation de'tertninante est du
premier degre', et, Si p est sa racine, les integrales sont de la forme,
X'~ d) (X),
la fonction (L(x) e'tant analogue 'a o., sauf qu'elle n'est certainement
pas nulle pour x — o. Quand la condition n'est pas remplie, a pr6'sentant ne'anrnoins le caract'ere des fonctions rationnelles, I'equation
determiuante est du degr6' zero et les integrates sont de la fornme
C, -Ct (
ex V
I~-+ ietant l'ordre infinite'simal de la valeur infinie que prend a pour
x -0.
Je de'signerai, pour abre'ge~r, par facteur re'gudier un facteur premier
symbolique tel. que
dx
Ii est evident, d'apr'es les formules (.2) dui no '74, qu'une expression
cornposee de m facteurs re'guliers est de la forme
d~y Pt d'~i- y' P2 clII2y.pl
d" dx" +2 dxrn-2, ~Xfi