Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

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G. FLOQUET.

88. La decomposition d'ane expression diff~rentielle line'aire et
homoge'ne en facteurs premiers symboliques a e'te e'tudie'e, dans le cas
des coefficients constants, par le ge'om-'etre fran~ais Brisson, qui en a
de'duit une inge'nieuse me'thode d'inte'gration des equations line'aires 'a
coefficients constants, avec ou sans second membre. Cauchy a signale6
la f~condite' de cette me'thode (I ). Je me propose de ge'neraliser le pro'd' qui s'6tend aux equations line'aires 'a coefficients variables, en
montrant comment il fournit l'integrale generale d'une equation cornpli~te quand on con nai't celle de e'~quation prive'e du second membre.
Conside'rons 1'~quation Iine'aire
Par hypothese, on connait 1'inte'grale generale de Ie'quation. prive'e du
second menmbre:P =o. On connai't donc toutes les de'com-positions
possibles du premier memnbre en facteurs premiers symboliques. Soit
P _- All, Aj,,,... A2 A
l'une d'elles. L'intitgration de le'quation
peut se rainener 'a celle d'u~n syste~me de rn 6quations simultane'es,
line'aires et dui premier ordre.
En effet, si je pose
(2) ~~~~~Aill, AM- 2 Al t,,
dum l,,
si je pose de nme'me
(3) Ai 2Aj... Al= - j~
I'equation (2) s'e'crira

(I)Exercices imatleIniatiqutes, t. II, p. 1 6 9.