Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

THEORIE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES.

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Remarquons d'abord que les coefficientsp seront necessairement des
fonctions symetriques des coefficients a des facteurs commutatifs. On
calculerait ces fonctions par les formules (2) du n~ 74, en y supposant
(da da,2 cla,,
dx dx ' lx
Par exemple, on a
in(m — ) da,
pt =- 2-Cai, pf==ai a- 2j dx
Si l'expression P est decomposable en facteurs commutatifs, on a
P = A Am-_.. A,
ou les difftrences deux a deux des coefficients a sont constantes. Soit
yn une solution de l'une quelconque des equations composantes, de
A,l = o par exemple y, sera une integrale de P - o. Or, l'identite (3)
du n~ 75 donne
- Pj &') A, Al / _. A 2 A',,r' n
avec les conditions
= Cti - a1, 1 I, 2, 3...
Done l'expression - P(yy) a ses coefficients constants et est de la
Y'
forme
I p,r!\ '"dT d")- dr dyr
P (ynr) Q(Y) =- I + ql d-1 q+ t...- d
et, si je change y en 4-, j'aurai
P(y) -yQ(r)*
Par consequent, toute expression P(y), decomposable enfacteurs commutatifs, est de la forme
P(Y)- Q( ^)
14.