Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

THEORIE DES EQUATIONS DIFFItRENTIELLES LINEAIRES. 103
Si lesoeffici nts a-, 2 et a,,3diffbrent par une constante, d'aprb s le
the'orbmue precedent,
A rn-2 A/n-3,A. -.AI et All —3A,,.,2A,,, A I
seront identiques, et, par suite, il en sera de mneme des deux expressions conside~rees. Inversement, je dis, que, si ces deux dernieres
expressions sont identiques,
All- 2A- 3A113 A... Al S et AM-3 An,2 A11.. AI - T1
seront aussi identiques, et, par consequent, a,,, —2 et a,,,-, diff6reront
par une constante. En effet, la diffhrence
est alors identiquement, nulle. Or on a
All, Al,-,, (S - T) - 2 'I)-(,. V(,,~ T a11i a, dr.. (S...J).
done S et T sont identiques, car, sinon, soit r Cir2i le premnie r terme qui
dxa
ne disparai't pas dans la difference S --— T; AD,1 Az,,, — I (S - T) contiendrait
le terme irre'ductible r 11+,, et, par suite, no serait pas identiquernent
nul.
On peut donc e'noncer la proposition suivante
Pour que, dans une expression difft~rentielle compose'e de facteurs
premiers symboliques, on puisse intervertir deux, facteiurs, conse'cutifs,
ii faut et ii suffit que los coefficients de ces deux. facteurs diffhrent par
une constante.
On en de'duit la proposition generale
Pour que, dans une expression dafe'rentielle composde defacteurs pre-.
miers symboliques, cesfacteurs soient commutatijs, ilfaut et il sufft que
les d~Jfdrences de leurs coeffficents, pris deux a' deux, soient des con -
stan tes.
85. Ces conditions, imnposees aux coefficients des 6quations composantes, conduisent "a des relations correspondantes entre leurs int&
grales.