Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

o.8 (G. FLOQUET.
lees par M. Brassine solutions conjugudes. L'analogue d'une equation
algebrique ayant n racines egales est done une equation diff6rentielle
lineaire ayant n solutions conjuguees.
Lorsque I'equation differentielle P =o admet ni solutions conjugue'es,
on pett rleconposer le premier membre P en m facteurs premiers symboliques dont les n derniers seront regaux.
Soit, en effet,
I T '-' X2 VI, x"i
y, Y, -.,. = J,'= x.,,..., ), - x..'*,,;,+,.., y,,
un svstieme fondamental de P - o, et soit
P -A/,, A,-,...A...A A,
la decomposition correlative de P. Elle jouira de la propriete enoncee,
car, si l'on calcule vo, v3,..., o, par les formules
y - v, -2 VfVdx,..., Y. Vfv2dxf..fv, dx,
on trouve successivement
V2- I., 3 s- 4 - 3..., ' ^- -
de sorte que l'on a
e0 d log (v I..... log[x. 2.3... * -- a) v,] _ d log e,
d dx dx
OU
Ci. —. a i =2, 3,.., /.
La demonstration pourrait d'ailleurs se conclure de ce fait que 1'expression A,,A,,,__...A A2, devant encore s'annuler pour y -y,, peut
se mettre sous la forme,, At,
A',,A',.. Ai.
Reciproquement, si l'expression P est cldecomposable en infacteurs premiers symboliques dont les n derniers sont egaux, I'equation P o
admettra n solutions conjuguees.
Si, en effet, on forme le systeme fondamental correlatif de la d6composition A,, -A,,i... Ao A,, savoir:
y, -- V, y --- 2, v2j'vdd,.. - v.,,d dx