Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

TI1E01'OI1IE DES EQUATIONS DIFFElENTIE'LLES LINEAIllES. 97
admette encore la solution y,, il faut et il suffit que,, satisfasse i
I'equation..-.',. d.i....~ dl'
/71 x "R1 -' 1 / l'//I 2 / iX
En effet, l'identite (i) du nuIrero preceedent montre que la condition pour que l'equation
'AA -. \ 3. ---, o
soit verifiee pour l'= -), est que 1'on ail
P1 (J..' ' x o i " -
c'est-a-dire que P-o admette l'integrale y,,. Or, si nous expriinons
cette condition, en tenant compte de P(y,) - o, nous ttouvons
t-l,, ( --, d}\
PI 1 2J1 -1 -2 -- P
80. La condition precedefnte, ecrite sous la forme P(xyV), o, ftit
voir que, pareillement, pour que l'equation obtenue en debarrassant
A/,A,,..A2A2 -o
de la solution y, admelte encore cette integrale, il faut et il suffit que
l'on ait
P '(,~ -i dx.0.'.. o OU I X2,' ) -- o;
et, generalement, la condition necessaire et suffisante pour que y, soit
solution de l'equation P = o et des n - I equations qui se deduisent
successivement l'une de l'autre en posant
dy i dy\
l.tdx y' d
est que P = o admette les n integrales
' t, x.2),. 1, Y x...',
Ces solutions, en progression gomnetrique de raison x, ont etc appe13