Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

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LIVRE III.

CHAPITRE IX.
INTEGRATION DES DIFFERENTIELLES QUI RENFERMENT
PLUSIEURS VARIABLES INDIPENDANTES.
70. Nous n'avons consider6 jusqu'ici que les differentielles qui ne renferment qu'une seule variable et cui sount
par consequent, de la forme F (x)dx; nons allons examiner maintenant celles qui renferment plusieurs variables
independantes, et nous proposer de determiner, s'il est possible, la fbnction de ces variables qui a pour differentielle
totale l'expression donnee.
Considerons d'abord deux variables x, y, et soit propose
d'integrer l'expression
Mcdx 4- Ndy,
dans laquelle on a
M -p(x, Y), =-(x, y).
On observera d'abord qu'il n'existe pas toujours une
fonction de x et y dont elle soit la differentielle: car, si
l'on designe par u une pareille fonction, on devra avoir
du dte d2 u d u
M =, dIN -; et co nre d y= d — il faudra qu'on
~dM dyN dxd d yd
ait dy --- d* Si done les fonctions M, N ne satisfont pas
dy dwx
a cette identite, il n'existera aucune fonction de x ety qui
ait pour diff6rentielle l'expression donnee. Mais nous allons
voir que, si cette condition est remplie, la fonction cherchle