Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

68

LIVRE III.

CHIAPTRE VIII.
AUTRES PROCDSDES POUR LA D1TERMINATION
D'INT1 GRALES DEFINIES.
66. On ramene quelquefois une integrale defiie simple
h une integrale definie double, parce que l'independance
des deux variables peut conduire a des simplifications. Soit
par exemple e-'dx. Elleest identique avec e-^'cd R".
-O Ot/
Si on les multiplie, on aura le carre de l'expression cherchdee.
cW co f} c
Or on peut considerer le produit e-x dx e-f~'l y
t/O
comme obtenu en nultipliant chaque element e-xdx de
la premiere par la seconde; et, dans cette derniere, on peut
poser y -- xt, x restant constamment le m6eime que dans
I'element e-2 dx. Rien ne sera change par la, quoique x s'introduise danis la seconde integrale qui devient j xe- "dt.
Si 'on pouvait former cette derniere expression en. x ecn
la multipliant par e-x' x, on aura un element qui, intlegre entre o et o, donnerait identiquement ie produit des
deux integrales. Mais danls cette integration, par rapport
a t, Ie facteur constant e-~'dx peut etre introduit sous lc
sigune f et I'on voit qu'on aura a intdgrer l'expression
e-ax e-xXt dxdt ou.e-X2(t+t2) ddtz
d'abord par rapport a t, puis par rapport a x, ces deux variables etant independantes.