Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

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LIVRE III,

regardees comme les memes dans les deux cas, puisqu'elles
sont entierement arbitraires.
57. Integrales definies singulieres. - M. Cauchy a designe sous ce nom des integrales prises entre des limites
qui se rapprochent indefiniment d'une valeur particuliere
de la variable, qui rend la fonction infinie.
Par exemple, si l'on suppose F(a) infinie, l'integrale
~a Is
F (x)dx sera une integrale definie singuliere, si
)a- &
e tend vers zero, x etant un nombre fini quelconque.
On peut mettre la fonction differentielle sous la forme
(x- a) F(x) - c et, si l'on designe par 5 une valeur
moyenne entre a - e et a - u) l'integrale sera egale a
a - p[,
( -a) F(), -a ou ( —a)F( )l.
J/a- s x - a
Si ( —a)F(~) a une limite diff6rente de zero quand d
tend vers a, l'integrale definie singuliere aura une valeur
determinee en meme temps que V.. Nous allons voir a quoi
cette consideration peut etre utile dans la determination
des integrales definies.
58. Cas ou la fonction sous le signe f passe par 'infini. - Si une valeur x = a rend F (x) infinie, et se trouve
comprise dans les limites de l'integrale F(x) dx, on
formera d'abord F(x) dx, puis F(x)dx; on
a -s a-+-e
les ajoutera, puis on fera tendre s vers zero: la limite est
ce que M. Cauchy nomme la valeur principale de l'integrale. On pourra avoir une valeur diflerente si l'on cherche