Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

DES LIMITES DE SOMMES.

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egales quel que soit x. L'ordce des deux operations est
donc encore indifferent. Tout cela suppose que la fonction
F(z, x) ne devienne ni infinie niindeterminee, pour aucune
valeur de x et z comprise entre les limites: si cela arrivait,
il faudrait un examen particulier dont nous nous occuperons tout a l'heure.
On peut encore d6montrer geometriquement cette proposition en considerant F (z x) comme l'ordonnee d'une surface, et cherchant l'expression du volume compris entre
cette surface, le plan zx, deux plans perpendiculaires i
l'axe des x correspondant aux abscisses x0, x; et enfin
deux plans perpendiculaires a l'axe des z correspondant
aux valeurs z0, z. Ce volume a pour expression soit
rx *z rz x
dx F(z, x)dz, soit dz F(z, x)dx. Ces
0x.. zO. 0 x
deux expressions sont donc equivalentes, en supposant toutefois que l'ordonnee F(z, x) reste finie dans l'intervalle
considere.
56. Si les deux integrales etaient indefinies, la premiere
serait
F (z, x)dzqz (x);
en l'integrant, on trouverait
r*x rz rsx
dx F (z, x) dz f(z)- y(x)dx,
0 0
ce qu'on peut mettre sous la forme
f x -I (z, x)d f(Z - f, (x),
et on trouverultat idente en i t
et l'on trouverait unf resultat identique en integrant en
ordre inverse, les fonctions f et fi pouvant toujours. Ctre..~~~~~~~~~~~U