Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

58 LIVRE III.
vers zero a mesure que n augmente, la serie converge vers
F (x + h), et devient celle que Taylor a fait connaitre.
On peut donner une autre forme au terme qui exprime
l'erreur commise, en s'arretant an terme de rang n. En
efit, l'integrale definie est egale a la somme des facteurs
z"- dz, multipliee par une valeur moyenne entre la plus
petite et la plus grande de celles que prend Fn (x +- - z)
quand z passe de o a h; et, comme cette fonction est supposee continue dans cet intervalle, cette moyenne est l'une
des valeurs que prend F (x -- h - z), pour une certaine
valeur de z comprise entre o et h: d'ou resulte aussi pour
h- z une valeur comprise entre o et A,. que nous representerons par Oh. Le terme qui complete le developpement
devient done
Fn (X+ 0 h) hI- zI dz, ou. F"(x ).
-I....(-.2..7Z
C'est sous cette forme que nous l'avons presentee dans le
Calcul differentiel: 0 est une fonction inconnue de x, et
l'on sait seulement qu'elle a une valeur positive plus petite
que l'unite.
En prenant la plus petite et la plus grande des valeurs
de F"(x) dans l'intervalle de x a x -h, on aura deux
limites entre lesquelles sera comprise l'erreur commise en
s'arretant apres le niene terme. L'integra]e definie donne la
valeur exacte de cette erreur; mais elle presente la difficulte de l'integration, et l'on ne peut generalement se proposer que de la renfermer entre deux limites connues.
Differentiation et integration sous le signe f.
53. Nous avons fait connaltre, au commencement de ce
Cours, les regles pour diff6rentier les fonctions explicites,
ainsi que celles qui sont liees entre elles et avec la variable
principale par des equations dont les deux membres sont