Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

54 LIVRE III.
aussi. C'est ce qui arrive, en effet, et la formule (I) suppose
que cette circonstance n'arrive pas.
Dans le cas actuel, les deux integrales partielles sont in —
finies de meme signe; par consequent il n'y a pas indetermination, et l'integrale demandee est infinie.
Considerons encore l'integrale C. Si les deux limites
sont negatives, on a une somme d' elments negatifs, qui
seraient les memes, au signe pres, que si l'on prenait ces
limites positives. Ainsi l'on aura
1I-lb la — b
J a 'T a
I1 n'y aurait de meme aucune difficulte pour deux limites
positives; mais, si elles sont de signes diffirents, l'integrale
Ix passant par l'infini, la formule (j) n'est plus demontree;
et il y a cela de remarquable, que la somme des elements
est reellement indeterminee.
r d
En effet, soit l'integrale definie; partageons-la
en deux autres, dont les limites soient — a - ey pour la
premiere et -+- ev -- b pour la seconde; e etant une quantite qui tend vers zero, et ^, v deux nombres constants arbitraires. La premiere integrale aura pour valeur 1 -, et la
a
b b
seconde 1 -; leur somme sera 1 - 1. Elle ne renfermera
Sv v a
'plus E, et, par consequent, si lon fait tendre cette quantite vers zero, on aura pour la somme des deux integrales, ou pour l'integrale -, la quantite indeterminee
fb dx
1 b -+1 qui depend du rapport arbitraire des intervalles
infiiment dcroissats. Si o les suppose ax
infiniment dcroissants Fy., ev. Si on les suppose egaux,