Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

DES LIMITES DE SOMMES. 45
L'equation subsistera evidemmcnnt en prenant les integrales
indefinies
F ) dx - uo d. --....
41. Si la serie (I) n'etait pas convergente, pour la
limite X, on pourrait craindre que la formule (2) ne fait
inexacte; mais nous allons voir qu'elle subsiste encore,
pourvu qu'elle soit convergente, et continue dans le voisinage de cette valeur. En effet, elle est demontree pour toute
valeur de x comprise entre x0 et X; c'est-a-dire que 1'on a
pour ces valeurs
rz rx rx
F (x)dx - Udx +... - U, dx 4-....
j XO x, Jx~
Or la limite de la somme des termes du second imembre
est une fonction determinee de x, puisque la serie des in -
tegrales est supposee convergente, meme pour la valeur X.
Si done on fait tendre x vers X, les deux membres de 1'equation tendront chacun vers une limite, et ces limites ne
peuvent etre inegales. Done
f*X bX rX
F(x)dxz - u dx +J u dx-....
^X 0 0 xo
La mueme demonstration se ferait pour la limite x0, et
mmem pour toute valeur intermediaire, pour laquelle la
serie (I) cesserait d'etre convergente, sans que la serie des
integrales cessat de l'etre.
42. La fonction F(x) peut quelquefois etre developpee
de bien des manieres differentes en series convergentes: on
choisira celle qui conviendra le mieux a la question. Si on
la developpe suivant la formule de Maclaurin, on aura
F (x) F(o) — (o)x+ F(o ).- — F(..o+ FP"(o) —. --- —.2.
I1.2i. 2 >..7I