Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

44 LIVRE III.
CHAPITRE VI.
INT1GRATION PAR StIRIES.
40. Lorsqu'on ne pent integrer exactement une diTfrentielle F (x) dx, on peut se proposer de developper son
integrale en series; et pour cela on developpera d'abord la
fonction F (x). Soit done
(1) F(x) = uo u+ u+ -..+ -- n +...
et admettons que cette serie soit convergente pour toutes
les valeurs de x que l'on considerera; sans quoi elle ne
pourrait remplacer aucune fonction.
Soit Sn la somme des termes jusqu'a un inclusivement,
et r' le reste de la serie, qui tend vers zero a mesure que n
augmente. On aura
F ( x) = Sn+.r,
Integrons les deux membres de cette equation entre deux
valeurs quelconques x0 et X, nous aurons
sx x rx
F(x)dx = sndx +- rdx;
xo.xo xo
J x^ J x^ Jx
erot puisque tend vers zero; 5 7I7dx tend aussi vers
zero; done
fX X x
(2) x F(x)dx -imJ sndx=J uodx -4- udx-..
X/ x0 X X0
ou, en remplacant X par x,
~x r* x
F (x)dx -f uodx -4-....