Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

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LIVRE III.

33. Supposons maintenant que, m etant positif, n soit
negatif et remplace par - n; la formule (2) donnera
r sinm" sinm+t' - n 4- r sin".
Sl dx - -.- -------- x
COS" x (m - 7n) COS"+L x m - n j cos'+2 x
L'exposant de cosx se trouvant eleve de deux unites, on
tirera la valeur de l'integrale qui est dans le second membre, et l'on trouvera, en changeant 7 -4- 2 en 7n
rsin'"^ sin"'. n - m — 2 f sin"nX
(5)J do. -~-4 - -dx.
cos" x (n I- i)coS-' X z- J- cOS"-2 x
Cette formule ne peut etre appliquee dans le cas de n.- I.
Si en mmene temps m est entier, on l'abaissera au moyen de
la formule (4), et l'on parviendra a
rsin.x dx
oun -,
I — dxl OU 5
J COS. J Cos x
expressions que nous integrerons tout a' l'heure.
34. Si, au contraire, n est positif et m negatif, remplacons-le par - m dans la formule (4), elle devient
rCOSnf. COS"'1+t m- -I f COSnx
J sinm"x d (m - n) sinm"l x n m-nj si dx
L'exposant de sinx etant augmlente de deux unites, on
tirera la valeur de l'integrale du second membre, et l'on
aura, en remplacant in -- 2 par m,
rCO sn.X Cosn+' X m —n- -. Cosnx
(6) ( -. — dx *= --- — ---- - ------- I -----. dx
(6) si.dx (m- I) sin-'x m -I J sin"'-x'
Cette formule ne peut etre appliquee si 7== I; mais alors,
en abaissant l'exposant de cosx, on arrivera, s'il est entier,
a iune des expressions sco dx ou _ -dO
p sons efin xe m sient nx
35. Supposons enfin que m et z soient negatifs tous les