Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

DES LIMITES DE SOMMES. 37
substituant et reduisant, il vient,(~, F sinn+ "'tx(coos"-'X n7 - I
(s) sinmxcos"xdx -4 ----: sinmxcos"-2xx.
J m~ — n m -- ln
Done, si n est positif, cette formule l'abaisse de deux unites,
sans changer m; excepte toutefois le cas ou m -t- n= o, que
nous examinerons plus tard.
En supposant que ce cas ne se presente pas jusqua'h la fin
du calcul, et en continuant de diminuer l'exposant de cosx.
on le ramenera a o, ou I s'il est entier.
32. En dirigeant autrement l'integration par parties, on
abaissera successivement l'exposant de sinx. En effet, on a
^(3) fr 0 s. nd COSn"l xsinm-xl.2 m -I,(3) (in"'xcosnxdx~ q ---- in — sm' cosn+"xdJr
J n -+- i n d1 J
or
jsinm-2x cosn+2.dx (sinlmx cosnx) (I - sin-2x
fj sinm-I x cosn x dx- sinmx cosnx dx.
Substituant dans la precedente et reduisant, il vient
inm- XCO n+t s x m - IC x
(4) sinx cosx d.x - r- n ~i + nj X cs..
m q — I m -- n
Si done on accepte encore le cas de nz -+- 7 = -o, on abaissera l'exposant de sinx d'un nombre pair quelconque, et,
s'il est entier, on parviendra a le rdduire a zero ou a l'unite,
sans que l'exposant de cosx ait change. S'ils sont tous deux
entiers et positifs, on les reduira successivement l'un et
l'autre, autant que possible, sans les rendre negatifs, et il
restera a integrer une des expressions suivantes:
Sdx, f cos.dx, fsin.xdx, fsin xcos xdx,
que nous considererons tout a l'heure.