Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTEGRALES PRISES ENTRE DES LIMITES IMAGINAIBES. 5u3
cercle infiniment petit est elle-meme infiniment petite. On a, en effet,
pour un point de cercle,
z -+- s(coscp — I sin ), clz = EV/-ld(I (cos? -+- I-isinp),
f __
f __ ___g V- _ (cos + / — i sin y)__,J-r /[2 +E (cos + c /'- sin y)] (-E) (cos y + -/-I sin?)
et lon voit que l'Felment de l'integrale contient V en facteur.
L'int6grale relative a 1A est egale enfin a celle qui se rapporte a AI
et de meme signe, puisque les facteurs dz et -- -. changent de signe
en meme temps quand on passe de l'une des integrales a l'autre.
L'integrale relative au premier contour elementaire est, d'apres
cela, egale a 'r, lorsque la valeur initiale du radical est -t- I; elle serait
-- 7 dans le cas contraire. L'integrale relative au second contour est
- dans le premier cas et -+ r dans le second.
Cela pose, si l'on commence a faire parcourir, au point qui represente z, n fois chacun des deux contours 6elmentaires, en passant alternativement de l'un a l'autre, l'integrale relative ia l'un de ces
contours sera -n 2nr, selon qu'on aura commenc6 par celui de droite
ou par celui de gauche; et, si lon prend n + i fois le premier et n fois
seulement le second, elle sera ~ (2 2 + 1) r. En nommant u l'integrale
prise le long de AZ, lorsque la valeur initiale du radical est -+, et
- i, par consequent, lorsque cette valeur est -, ce qui aura lieu
apres Ie parcours des 2n -+ I contours, le valeurs que peut prendre
l'integrale sont. 271 Tr -. U,
~+ (2n -+- I)T — u,
ce qui est precis6ment l'expression generale des arcs, dont le sinus est
egal a sin u.
25. La fonction arc sinz, consideree comme l'integrale
rz dz
I - ovi = U,
est, on vient de le voir, une fonction mal definie qui, pour chaque