Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTiGRALES PRISES ENTIRE DES LIMITES IMAGINAIBES. 521
chemin ayant la forme AC, C peut etre remplace par un contour 1lementaire decrit autour du point C,, suivi d'un chemin direct dirige
vers C2 et laissant C, sa gauche. Si le fil, avant de quitter C, fait autour de lui n circonvolutions, on peut remplacer la portion AC, C par
n - I contours elementaires, suivis d'un chemin direct qui va de A
vers C2 en laissant CI a sa gauche. Et j'entends par la que ces deux
chemins peuvent etre reduits l'un a l'autre, comme on s'en assure a la
simple vue, sans qu'il y ait necessite de faire franchir h l'un d'eux, en le
deformant d'une maniere continue, aucun des points critiques C, et C2
et en 6vitant, bien entendu, la rencontre des autres points critiques
qui peuvent se trouver sur le plan.
Le fil, se dirigeant ensuite vers un troisieme point C,, pourra etre
remplace de meme, dans la portion A C2 C3, par un certain nombre de
contours e16mentaires decrits autour de C2, suivi d'une ligne se rendant
directement vers C3 et laissant C, et C2 a la gauche, sans comprendre
entre elle et AC, C2 C aucun autre point critique.
L'application rep6tee de cette methode permettra, comme on l'a
annonce, de remplacer le chemin propos6, quel qu'il soit, par une
serie de contours elementaires auxquels on adjoindra un dernier chemin allant directement de A en Z.
24. Suivons les consequences des considerations pr6cedentes dans
l'etude de l'integrale
rz dz
j I __-' = arc sinz.
Admettons que pour la valeur initiale z = o on prenne V/ - z2 = I;
si, partant de l'origine des coordonnees, le point qui represente z suit
une courbe donnee quelconque, les valeurs successives des radicaux
sont determinees par la loi de continuite. Les points critiques correspondent ici aux valeurs z = 4- I et sont tous deux situes sur l'axe
des X de part et d'autre de l'origine.
Les contours 6lementaires sont AIKI'IA et AGLG'GA. Un chemin
quelconque partant de A et se terminant en Z peut etre remplac6 par
une serie de contours le6mentaires successivement parcourus, auxquels
on adjoint, pour terminer, la droite AZ. Lorsque, partant du point A,
en adoptant pour le radical la valeur -+- I, le point qui represente z
parcourt la droite AI, si l'on nomme z le rayon de cercle CI, la valeur
du radical, lorsqu'on arrive en I est evidemm6lit -- VI - s2; mais,
quand, en faisant tourner le point directeur autour du petit cercle, on