Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTIGRALES PRISES ENTrIE DES LIMITES IMAGINAIPRES. 50o(
Lorsque k est different de l'unite, cette integrale est nulle; mais, en
supposant k = i, elle se reduit a
*(i) v I= 2 V-I.
On a dono,(2) f(z) dz=- 2 A,,, V -1,
A,, etant le coefficient de dans le developpement de
z- c- p3 V-i
ia fonction cp(z), nomme par Cauchy residu relatif ca a + -i.
Si le point qui represente z parcourait la circonferen6e en sens inverse, l'integrale (1) serait egale a - r 2 - V-. Dans chaque application
du theor6me precedent, il faut tenir compte de cette remarque en
examinant dans quel sens doit se faire l'int6gration qui represente la,diff6rence cherchee.
15. Nous avons exclu, dans la demonstration precedente, le cas oui
le contour qui dirige l'integration passe par l'un des points critiques
pour lesquels la fonction est infinie. L'integrale, dans ce cas, n'a pas,
en general, de valeur d6terminee. Cauchy y applique neanmoins ses
theoremes en remplagant l'integrale par la valeur qu'il a nommee la
valeur principale.
Soit O le point critique; la valeur principale de l'int6grale prise le
long du contour POQ est, d'apres la definition de Cauchy, la lirite de
la somme des d
la somme des deux integrales prises le long de PI et le long de I'Q,
lorsque les arcs egaux IO, OI' decroissent indefiniment. Elle differe
donc de l'integrale prise le long du contour PIII'Q par l'integrale
prise sur la demi-circonf6rence IMI', c'est-h-dire 7rAV/-i, moitie de
la variation totale arA V/-, qui se produit quand le contour, en se
deformant, traverse le point critique.