Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTEIGRALES PRISES ENTRE DES LIMITES IMAGINAIRES. 507

finie. Soit A ce point; comparons les valeurs de l'integralej (z)dz,
prises successivement le long des contours PMQ, PM'Q, qui comprennent entre eux le point critique A.
Consideronslesdeux chemins PIKI'Q et PIK'IQ, qui reunissent l'un
et l'autre les points extremes P et Q en presentant deux parties communes PI, I'Q, et ne diff6rant l'un de l'autre qu'en ce que, dans le
Q
premier chemin, ces deux parties sont reunies par la demi-circonf6 -rence infiniment petite IKI' qui a son centre en A et qui se trouve
remplacee dans le second par l'autre moitie IK'I' de la meme circonference.
L'integrale prise le long du chemin PMQ est la m6me que le long
du chemin PIKI'Q, car le premier peut se deformer et coYncider avec
le second sans traverser le point A. De meme l'integrale prise le long
de 9M'Q est 6gale a celle qui correspond au chemin PIK'I'Q; la variation cherchee est done la difference entre les valeurs de l'integrale
f (z)dz prise le long des chemins PIKI:Q, PIK'I'Q. Ces deux chemins ont les parties communes PI, I'Q; si done la fonction? (z) ne
change pas de forme quand on passe de l'un a l'autre, les deux integrales ne different que par la substitution de la partie relative a IKI'
celle relative a IKI'; et comme les int6grales relatives a une meme
ligne parcourue dans les deux sens sont 6videmment 6gales et de signes
contraires, cette difference est la sornie des valeurs de l'int6grale
fj(z)dz prise le long de ces deux demi-circonf6rences parcourues
successivement dans le meme sens, c'est-a-dire tout autour du cercle
infiniment petit IK'I'K.
14. On peut, dans un cas tres-general, calculer cette integrale qui,
d'apres les explications qui precedent, represente le changement
brusque dej ( z) dz.