Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

5o6 APPENDICE.
c'est-a-dire, en posant
oC= pcosO,
p= psinO,
/r i3 r' du - 1r(n)
o e-au (cos p u - /- Isin B u) '-' du = cos n 0 - n n)
Jo p" (cosnO -+ -— I sinnO )
d'ou Euler a conclu
(II) e-to s uu7d r(n) cosn
(11) f e.-a..cos UU"-'1 = ----
F (n) sin n0
(12) J e-a. sin p u"-l du = -- - -
ou n designe un nombre positif quelconque entier ou fractionnaire.
Pour savoir si la transformation est legitime, remarquons qu'en posant
z = x +Y/-y - -= (c + P/-. ) U = pu ( cos0 + / —i -sin ),
le point dont les coordonnees sont x et y est assujetti a parcourir
une ligne droite partant de l'origine, et faisant avec laxe des X un
angle 0.
Soit OP cette ligne. Notre transformation revient a admettre que
l'integrale prise le long de OP est egale a celle prise le long de OX; il
suffit, comme dans le cas precedent, que l'integrale prise le long d'un
arc de cercle PX, de rayon infiniment grand, qui reunit les deux lignes
soit egale a zero; or sur les points de cet arc on a
xt R(cos -+- -- sin ),
et la differentielle a integrer contient le facteur e- Bcos? qui la rend
nulle lorsque R est infini, pourvu que 0, qui est la limite de w, soit inferieur a - c'est-a-dire pourvu que ca et P soient positifs.
Variation brusque d'une integrale imaginaire.
13. Cherchons la variation de l'integrale j (z)dlz lorsque, les limites
restant les memes, la courbe le long de laquelle on integre franchit, en
se deformant, un point auquel correspond pour cp(z) une valeur in