Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTEGRALES PRISES ENTRE DES LIMITES IMAGINAIRES. 493
La meme difficulte se presente pour toute integrale de la forme
f dans laquelle m est un nombre pair. En calculant de meme
f —, les elements passent, dit-il, du positif au negatif et les
parties infinies peuvent se detruire; mais alors ii semblerait que l'integrale devrait Wtre nulle, et, au contraire, elle est 6gale a la quantit6
imaginaire 1(- i); ce logarithme a, comme on salt, une infinite de
valeurs comprises sous la forme (2n — i):)/-i-, n etant un nombre
entier positif ou negatif, et ir representant toujours le rapport de la
circonf6rence au diametre. On ne voit pas d'abord, dit Poisson, comment la somme des 6lements qui sont tous reels peut avoir plusieurs
valeurs, et encore moins comment ces valeurs sont imaginaires.
Pour 6carter cette difficult6, on pourrait se borner a remarquer que
la definition des integrales d6finies considerees comme sommes de leurs
elements suppose essentiellement que ceux-ci ne deviennent pas infinis,
et que, par consequent, les formules employ6es ne sont pas applicables
aux cas dont il s'agit.
Poisson ne s'en tient pas a cette raison sommaire. f(x) 6tant la
derivee de F (x), on a, dit-il,
f(x)dx= F(b) — F (a).
Ja
Des la naissance du Calcul integral, on a regard l'integrale definie
comme exprimant la somme des valeurs de la diff6rentielle et ces valeurs comme les 616ments de l'int6grale; et c'est pour cette raison que
l'on a indiqu6 les integrales par la lettref, initiale du mot somme.
Depuis, on a senti que cette notion de l'integrale etait un veritable
theoreme qui a besoin d'etre demontre. On prouve done maintenant,
dans le Calcul integral, que la quantit6 F (b) - F(a) est la somme des
valeurs de f (x)dx, lorsque x va de x = a x = b par degres infiniment petits, chacun de ces degr6s etant exprime par dx. Cette proposition a lieu quels que soient les changements de signe def(x)dx entre
les limites a et b. Elle subsiste aussi alors meme que cette rdiffrentielle passe par des valeurs imaginaires; mais la demonstration qu'on
en donne suppose essentiellement qu'entre les m6mes limites f(x)
demeure une quantite finie, et quand, au contraire, elle passe une ou
plusieurs fois par l'infini, il y a des cas dans lesquels cette proposition