Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTtGRATION DES QQUATIONS DIFFERBENTIELLES. 487
donne les coordonnees x', y' du point de la surface par
lequel on veut faire passer la ligne de courbure: on aura
ainsi 'equation
Y12 - C12 _ ba(a- b)C
b -t- aC
ou
ax'2C2- bx'"- ay'2t+ ab (a - b)]C - by"c o;
d'ou l'on tire pour C des valeurs reelles inegales, l'une
positive et l'autre negative, que nous designerons par a
et - G. Les projections des deux lignes de courbure qui se
croisent an point donne ont donc pour equations
ab (a - b)
2- 2~4 b -+- aa
ab(a —b)
at-b
Si l'on suppose a> b, la parabole, situee dans le plan
des x et z, est celle qui a le plus grand parametre. Les
hyperboles suivant lesquelles se projettent les lignes de
courbure ont alors leur axe reel dans la direction de l'axe
/ab (a - b) ee
des y, et sa longueur el est maximum
pour a == oo, et sa valeur est \/b(a- b); les hyperboles
se reduisent alors a l'axe des y. On voit done qu'en portant
sur l'axe des r, de part et d'autre de l'origine, des longueurs
egales a Jb(a - b) on aura les limites entre lesquelles
tombent les sommets des hyperboles, qui sont les projections d'un des systemes de lignes de courbure.
L'equation qui represente les projections des lignes de
l'autre systeme donne toujours des ellipses reelles, parce
que l'on a a 6-b>o ou 6>-. En effet, si l'on suba