Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTIGRATLION DES EQUATIONS DIFFiREITIELLES. 485
surface de revolution. I1 faut, pour que les centres de courbure des sections principales soient ceux des lignes de
courbure, que les plans osculateurs de ces lignes soient
normaux, et que, par consequent, les lignes de courbure
soient les lignes de plus courte distance sur la surface.
-jpplication au parabolo'de elliptique.
357. Soient 2aa 2b les parametres des iaraboles principales d'un paraboloide dont l'axe est dans la direction
des z positifs; l'equation de cette surface sera
x2 y2
z - + -.
2a 2b
et 1'on aura
x y I I
P a-q r7 f - t= S o.
a b a b
L'equation (9), qui appartient aux deux lignes de courbure, devient ainsi, en posant b =A, a (a - b) = B
Axy(\ dx "(X-A-B) -xy 0o.
Si l'on diffTrentie cette equation, on obtient
(2aA.y d + x2- Ay2 B) rY
\ dx 7 Ix2
+ [A(ddy ) ](x y) o.
Si l'on tire de la precedente la valeur de x - A-y2 —B,
et qu'on la reporte dans la derniere, on trouve
dcyr dr ( dr \
dx2 dx dx