Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

IN'TEGRATION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES. 4 9
males se trouveront alors angentes a une meme courbe a
double courbure, et que leur ensemble formera, par consequent, une surface developpable.
En effet, soient M, M1, M2,... les pieds des perpendiculaires communs a chacune de ces droites successives et a
la suivante. Le polygone MMiM2. aura ses cotes infiniment petits du premier ordre, si l'on excepte le cas particulier ou6 tons ses sommnets tendraient a se reurnir en un
meme point. I1 tendra donc vers une certaine courbe generalement a double courbure.
Si maintenant on considere le triangle qui a pour cotes
MMI et la commune perpendiculaire passant par M, son
angle en M, sera infiniment petit, puisque le c6te oppose
est d'un ordre superieur a MM,; d'ou il suit que l'angle de
MMI avec la droite du systeme qui passe en M1 tend vers
zero. Done toutes ces droites ont pour limites les tangentes
a la courbe limite des points M., M, M,.... Nous avons
nomme lignes de courburte les lignes tracees sur une surface, et jouissant de cette propriete, que la plus courte distance des normales est du troisieme ordre. Nous allons les
retrouver par cette consideration que leurs equations soient
satisfaites par les coordonnees d'un meme point, en negligeant les infiniment petits d'ordre superieur au premier.
Soient x, y, z les coordonnees d'un point quelconque
d'une surface, les equations de la normale en ce point serout
-x + p (z z ') - o, y -y' - q (z - Z') -- 0o
Le point d'intersection de cette ligne et de la normale
au point infiniment voisin, dont les coordonnees sont
x'-t dxt, 3'+ - dy, z -i- dz', sera donne, en negligeant les
infiniment petits d'ordre superieur an premier, par la combinaison de ces deux equations et de leurs diterentielles