Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

476 LIVRE IVo
NMU, dc. de dc \. dc', d- sina2c - -- sina cosa +- cos2
dx dy dx dy
d'oi'
tic dc'
~ 4' + -.
dx dy
La somme des courbures relatives a deux plans perpendiculaires entre eux, passant par MN, est donc constante;
d'ou il suit deja que, si l'une est maximum, l'autre sera
minimum, et reciproquement; mais, comme cela n'indique
ni le nombre, ni la position des plans qui se rapportent a
ces maxima ou minima, cherchons: en general, les valeurs
de c qui peuvent donner de pareilles valeurs de u. La regle
ordinaire conduit a l'equation
dc dc'\ dc dc'
sin2 a = CO52 Z -T-;
sn\dx dy - c ody dx
d'ou il resulte que les valeurs de o ne construiront que deux
directions: a angle droit l'une sur l'autre, et correspondant,
par consequent, l'une a un maximum et l'autre a un minimum de courbure.
On voit done que les proprietes relatives a la courbure
des sections normales ne sont pas caracteristiques pour les
surfaces; car elles se retrouvent pour tout systeme de directions determinees en chaque point par des fonctions
continues quelconques des coordonnees de ce point. Cette
distinction entre les proprietes qui conviennent a tous les
systemes et celles qui ne conviennent qu'aux normales a
une serie de surfaces mrrite une attention particuliere.
348. Nous terminerons cette discussion par la recherche
des directions perpendiculaires a MN (fig. I5), suivant lesquelles il faudrait marcher pour que les droites infiniment