Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTEGRATION DES 1.QUATIONS DIFFtRENTIELLES. 473
equation soit nul; et l'on-remarquera que, comme il ne
depend que de quantites constantes pour le meme point
M, sil est nul pour une certaine direction choisie pour
MU, il le sera pour toute autre. Mais on peut, dans cette
equation de condition, substituer aux quantites c, c' c1
les quantites respectives X, Y, Z qui leur sont proportionnelles car la forme de cette equation fait reconnaltre
immediatement que l'introduction d'un facteur commun,
fonction de x, y, z3 dans les quantites c, c1 c1, nIe produirait que des termes qui se detruiraient, et un facteur
commun que l'on pourrait supprimer.
Ainsi la condition analytique necessaire et suffisante
pour l'egalite des angles o, o' est
X Y d(Zd (dZ dX) ( ) dX dY\
Or cette condition est precisement celle de l'integrabilite
de l'equation
X d -- Y dy -+ Zdz =o;
et, quand elle sera remplie, cette derniere equation representera une serie de surfaces, en chaque point desquelles la normale fera, avec les axes, des angles dont les
cosinus seront proportionnels a X, Y, Z.
Ainsi, l'egalite des angles o, o ' en un point qu-elconque M de l'espace entraine cette consequence,, que,
par un point arbitraire, on peut faire passer une suftace
telle, que ses normales se confondront avec les droites du
systeme en question.
Cette propriete, que nous avions reconnue pour une
surface quelconque, est done caracteristique; elle n'appartient qu'aux normales a une surface: elle ne subsiste
plus pour tout autre systeme de droites.
346. Le second membre de l'equation (3) ne dependant