Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTEGRATION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES. 467
AN' est done plus petit que R, puisqu'on a Z > 0, et le
pied N' de la perpendiculaire commune est entre A et le
centre de courbure de la section. Pour que l'on ait
AN' z R, il faudra que - i et, par suite, z o alors
8 sera nul: cela n'a lieu que pour les sections principales.
Si l'on voulait connaitre la distance du centre de courbure de la section ZAU a la normale MN, il suffirait de
considerer le triangle rectangle dont R serait l'hypotenuse
et 0 I'un des angles aigus. La distance cherchee serait ainsi
R sinco ou simplement Rco. Son rapport a la commune
T | 1 ^ Ct) IR ^
perpendiculaire cd dont la valeur est a = =, sera
z Z
z
done -
Theiore.me de Dupin sur les surfaces orthogonales.
344. Ce theoreme consiste en ce que: Si trois series
continues de sulfaces se coupent mutnellement, et de telle
manieire qu'elles soient 'a angle droit en chaque point de
leur rencontre, ces lignes d'intersection seront pour chaque
sulface ses lignes de courbure.
M. Bertrand a deduit de son theoreme fondamental une
demonstration tres-simple de cette proposition. Considerons, en effet, trois series de surfaces orthogonales, et soient,
en un point A (fig. I4), AX, AY, AZ les tangentes aux
courbes d'intersections des surfaces que donnent respectivement en ce point les trois series que F'on considere. Prenons sur ces courbes les points M, N, P a des distances infiniment petites egales du point A. En chacun de ces points
les normales aux deux surfaces qui y passent sont perpendiculaires. Soient a, 6e 7 et.', t, y' les angles que font
respectivement avec les axes AX, A'Y, AZ les deux nor3o.