Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

462 LIV.E IV.
de ces deux sections normales, nous aurons
v - rcos2a 4- t sin2c,
(I - r sin'a + tcos2 a,
+ r -4- t.
On arrive done a ce theorcme remarquable:
Dans toute surface, la somme des courbures de deux
sections normales faites en zn neme point par decux plIans
rectangulaires quelconques est constante.
Cette somme est done celle qui se rapporte aux deux sections qui passent par les directions principales en ce point,
puisque ces directions sont rectangulaires. Les valeurs de v
qui s'y rapportent s'obtiennent en donnant successivement
a o les valeurs o et -; elles sont done r et t.
2
On peut remarquer que 1'expression de v, donnee par la
formule (2), reste la meme quand on change c en 27 -a:
d'ou l'on conclut que, pour deux plans normaux symetriques par rapport a l'un quelconque de ceux qui passent par
les directions principales, la courbure des sections est la
meme.
On peut encore faire une autre observation qui n'est pas
sans interet. Si l'on partage en parties egales infiniment
petites l'espace angulaire autour d'un point quelconque
d'une surface, et qu'on fasse passer des plans par ces lignes
de division et la normale, la moyenne des courbures de
toutes ces sections sera la demi-somme des courbures principales, c'est-a-dire des courbures des sections principales;
car on peut partager toutes ces sections en groupes de deux
sections ayant leurs plans perpendiculaires, et comme,
dans chaque groupe, la somme des courbures est la demisomme des courbures principales, la rmoyenne ge6nrale