Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

46o LIVRE IV.
c'est-a-dire quand le point M se deplace suivant l'une
quelconque des deux directions AX, AY.
On voit de plus que l'angle c ne peut devenir nul pour
aucune autre direction, a moins que l'on n'ait t =- ', auquel cas il est nul pour toute direction.
Nous obtenons ainsi cette propriete remarquable:
En tout point d'une surface quelconque, il existe deux
directions rectangulaires telles, que les normales at la surface menees par les points infiniment voisins du premier
dans l'une quelconque de ces deux directions, sont situees
dans le plan normal conduit suivant cette direction; elles
sont donc dans un plan contenant la premiere normale,
et, par consequent, la rencontrent. Lorsqu'il y a plus de
deux directions jouissant de cette propriete, toutes les
autres en jouissent.
Nous donnerons a ces deux proprietes remarquables la
denomination de directions principales. I1 ne faut pas oublier que nous avons neglige les infiniment petits du second
ordre. Ainsi l'on doit entendre que les normales, menees
par les points situes a une distance infiniment petite les
uns des autres dans ces directions, peuvent bien ne pas
reellement se rencontrer, mais que leur plus courte distance, si elle n'est pas nulle, ne peut etre qu'un infiniment
petit d'un ordre superieur au premier. Cet ordre est au
moins le troisieme, d'apres la remarque du n~ 270, tome Ier.
On a donne un nom particulier aux courbes tracees sur
une surface, et qui, en cliacun de leurs points, ont une
direction qui jouit de la propriete que nous venous de
reconnaitre; on les nomme des lignes de cou7rbure. On peut
evidemment en faire passer deux par un point quelconque
de la surface.
338. La formule (3) conduit A une proposition generale, que nous allons faire connaitre, et d'oii nous aurions