Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

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LIVIRE 111.

Mais
m-" (.a + bxn))P+ = axm-'( a -- ")P-i- bxm(a -F- bx)P;
done, en substituant, on aura
j. - a-+ bxn)Pdx X (a~- P
nb(p - i)
_ (m —n + )ia.. x ---(, -4bx) d- n n (a+ bx,)
nb(p — i) nJ n(p-+- i)
Si l'on reduit le dernier terme de cette equation avec l'expression semblable qui se trouve dans le premier membre,
on obtiendra la formule
i r,.r7~m —nt ( -- t xn)P+t
i I p (a +- bxfn)P l dx = b
J x a..x....ax. b(m -- /p - I)
( -n -- Z -l)a r
(in --- —-- L-.af^"(a -(- bx11)Pdx.
6(4z4l) J m ( a + I
On est ainsi ramene a integrer une differentielle du mnme
genre que la premiere, et qui n'en diff6re qu'en ce que l'exposant m est change en m - n.
I~ Supposons que mi soit positif et plus grand que n. En
traitant cette nouvelle differentielle de la meme maniere
que la precedente, on diminuera encore de n l'exposant
de x et, en continuant ainsi, on sera ramene, apres un nombre k d'integrations, la diffrrentielle xr-"i ( a +- bxn)Pdx;
et l'on effectuerait immediatement l'integration si l'on avait
m -t-
m- kn-n-i, ou - -- i.
Ce procede conduira done h l'integrale cherchee toutes les
fois que 7in- i sera divisible par 71. C'est le premier cas
d'integrabilite que nous avions reconnu.
20 Si 7i etait negatif, la formule (I) ramenerait la diftfrentielle proposee a une autre moins simple, puisque l'ex