Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTTGRATION DES EQUATIONS DIFFERIENTIELLES. 435
Or ux se reduit a uo pour x- xo; on y satisfera done si
X devient alors egal a 1 et si Xi, X2,..., X, deviennent
nuls, c'est-a-dire s'ils sont divisibles par x - x0. I1 en serait
de mime pour chacune des autres valeurs de x; on prendra
done pour X le produit d'une constante par tous les facteurs x -X, x-xi,..., x- x, excepte x - x0; pour Xi
le produit d'une autre constante par les memes facteurs,
excepte x- x; et ainsi de suite. Par la on voit qu'en
substituant chacune des valeurs de x il ne restera que le
terme ou entrera la valeur correspondante de uX; et il n'y
aura plus qu'a rendre egal a l'unite son coefficient. Soient xp
une quelconque des valeurs donnees de x, et Uzp la valeur
correspondante de u.Xp renfermant les facteurs x- xO...,
x- xn excepte x - xp il est evident que, si on le prend
egal a ce produit divis6 par la valeur que prend ce mneme
produit quand on y fait x = xp, Xp se reduira a i pour
X - Xp.
Les quantites X, XI..., X,, seront done ainsi determinees de maniere que l'equation du degr n7 en x, qui donne
la valeur de uI, soit satisfaite par les n 7-x couples de
valeurs donnees; et aucune autre expression du meme degre ne pourrait devenir egale aux memes valeurs u,,... un
pour les memes valeurs de x, sans coincider avec elle.
La formule cherchee sera done
(x -o X(1) ( - X2).. (X -X.)
(f \ (-Xo) (x -x )...(.x- x,)
(0I- XL) (.0- X,2)...*(X- )
(. -X 0)..(.x -. - _)
( n.F0L) X... ( - - )
+(Xn- xo) (x,-,,_,)
Lagrange a donne une autre formule d'interpoaltion,
procedant suivant les sinus des multiples d'un certain arc,
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