Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

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LIVRE IV.

CHAPITRE XXYII.
CALCUL INVERSE DES DIFFPiRENCES.
304. L'objet qu'on se propose dans ce calcul est de remonter de la difterence d'une fonction a cette fonction
lmeme; ou, plus generalement, de determiner une fonction
quand on connait une relation entre elle, ses differences
d'ordre quelconque et la variable independante.
La difference d'une quantite independante de la variable
etant zero, il s'ensuit que, lorsqu'on aura trouve une fonction d'apres une difference donnee, on pourra lui ajouter
une constante arbitraire, et l'on aura une solution plus
generale de la question; mais ce ne serait pas la plus generale, comme dans le Calcul infinitesimal; et, pour l'obtenir,
il faudrait ajouter a la fonction trouvee la fonction la plus
generale ayant pour difference zero.
Or, si l'on donne a x l'accroissement Ax, toute fonction
periodique de x ayant Ax pour periode prendra un accroissement nul, a partir d'une valeur quelconque de x;
et, reciproquement, il n'y a qu'une pareille fonction qui
soit dans ce cas pour toute valeur de x. On voit done que,
lorsqu'on donne l'expression de la difference d'une fonction de x, relative a la difference Ax de cette variable, il
suffira de connaitre une fonction particuliere qui satisfasse
a la question; et l'on obtiendra la solution la plus generale
en lui ajoutant une fonction periodique arbitraire, ayant
pour periode la difference donnee Ax.
On sait que toute fonction periodique pent etre repre