Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

410 LIVRE IV.
294. I1 est facile d'exprimer la difference A"' u au moyen
de mn -- valeurs u, i1,i U2...,
En effet, on a d'abord
Au _ u, - uo
Pour obtenir A2 U il faut, dans l'expression de Au, changer x en x -- Ax, et en prendre l'accroissement resultant.
Cette substitution changeant respectivement ui et u en it2
et u1, on trouvera
A^2 = U2 — 2UI --- U.
De meme A3u sera 1'accroissement de l'expression de A2" t,
dans laquelle on changera x en x -+ Ax, et l'on aura
A3 u = u- 3 u4- 3u, - u.
On voit jusqu'ici que les indices de u decroissent d'une
unite, depuis 1'ordre de la difference jusqu'a zero; que les
coefficients sont alternativement positits et negatifs, et sont
egaux a ceux de la puissance de meme ordre d'un binome.
Or la maniere dont on passe d'une difference a la suivante
prouve que cette loi est generale.
En effet, si l'on a
An u = n- At Al n-l --- A2 Un --
+ Ap Un-p- Ap+- Un-p-_ --. o
la difference suivante sera
Al/tu = U+l AL |t n + A2 U —_t -...-Ap~+i Un —p....
- I -- Al - Ap
La loi des indices de u est done la meme pour cette difference, et les coefficients se forment de ceux de la precedente, en ajoutant, en valeur absolue, chacun d'eux a celui
qui le precede: donc, si, pour une difference, ces coefficients sont ceux de la puissance du meme ordre d'un bi