Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

1NT]GRATION DES EQUATIONS DIFF]RENTIELLES. 409
et que x,, ne depend que de x, et s'obtient en changeant
x en x +- Ax dans x,n_, u,n sera aussi fonction de x seul,
et se deduira evidemment de u,n_, par ce meime changement.
293. D'apres la definition que nous avons donnee des
differences successives, la deuxieme difference A2 u sera F'accroissement que prendra Au quand on y changera x en
x +- Ax; la troisieme diff6rence A3 u sera l'accroissement
de A2t resultant du meme accroissement Ax que 1'on y
fera subir a x; et ainsi de suite.
De mmem Au, etant l'accroissement de u, relatif a l'accroissement Ax1 donne a x1, A2 u sera l'accroissement de
Au, quand on y fera croitre x1 de Ax1; et de meme pour
les differences suivantes. On voit done que les differences
successives de ui seront les memes fonctions de x1 que
celles de u le sont de x; et il en sera de mnee pour les diff6rences de u, us,..., tt,n etc. 11 resulte de la que toutes
les differences de u,,, s'obtiendraient en changeant x,._- en
x,n dans les diff6rences correspondantes de u,,t_.; et, comnle
on a vu que ce changemnent s'opere en substituant x -4- Ax
a x lorsque l'on considere xn_ comme exprime en fonction de x, il s'ensuit que les differences d'un nmeme ordre
quelconque des quantites
L Z l, 2, *... m Um II Um
se deduisent chacune de la precedente, en y changeant x
en x + Ax. On observera encore que, pour obtenir A" up,
c'est-a-dire 1'accroissement de A"-1 p,, dans lequel on change
xp en x, +-xp, il suffit de prendre l'accroissement que
prend A"n- u, considere comme fonction de x, dans lequel
on changera x en x +- Ax.
Ces proprietes appartienilent aux differences successives
de x, comme a celles de la fonction quelconque it.