Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

4o8 LIVRE IV.
vante
- x += Ax,
x2 x -4- Ax 4- Ax,,
X3 X +4- AX ~ AXI 4- AX2,
Xm- X +- x -X Ax, -4-... 4- Ax,,l,
xm x - x ^- At t + -... - AXmX —,t.
Toutes ces expressions peuvent etre considerees comme
dependant uniquement de la premiere valeur arbitraire x;
car Ax etant une fonction de x, xi ou x -- Ax 1'est de
meme. Axl ou f(x,) est donc aussi fonction de x seulement, et par suite aussi x2, qui est egal a x - Ax - Ax1.
De mme, Ax2 on f(x9) sera fonction de x seulement, et
par suite aussi x3; et ainsi des autres indefiniment.
I1 est encore utile d'observer que chacune de ces valeurs
successives pent se former de la precedente, en y changeant
x en x +- Ax. En effet, supposons qu'il en soit ainsi jusqu'a xm_ inclusivement, et changeons x en x +- Ax dans
x,_,: sonpremier terme x devient x +- Ax; son deuxieme
terme Ax devient Ax1; son troisieme Ax, devient Ax2,
et enfin son dernier devient Ax,_-; par consequent, x,,,_
se trouvera change en x,n. La proposition est done generale,
puisqu'elle est vraie pour x,. Si maintenant on considere une fonction quelconque u i-? (x), et que l'on designe par
UC at, U2 U3.., U7m-\ m U7* -
les valeurs correspondant a x, xi,..., x,,, chacune de
ces valeurs successives de u pourra etre consideree comme
fonction de x seulement, et se deduira de la precedente
en y changeant x en x + Ax; car, puisque l'on a generalemcnt
UnL-i p (Xn1-1)7 Um:=:?(XM),