Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

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LIVRE IV.

Ces deux equations seront jointes a F(xi, y, z) = o,
et aux deux suivantes:
Y, _ Cx, + d, z, - C'xl x d'.
On aura ainsi cinq equations entre xi, yI ze et les
quatre constantes.
3~ Si lon donnait deux equations entre xi,y1, zi, on
arriverait de meme a cinq equations entre elles et les constantes.
Ainsi, pour chaque extremite, soit libre, soit assujettie
a une ou deux conditions, on trouve toujours deux equations entre les constantes, ou directement, ou par l'elimination de x,, yi, 1,. Done les quatre constantes pourront
toujours etre determinees par les conditions relatives aux
deux limites.
280. L'equation (a) renferme une propriete geometrique remarquable de la ligne minimum. En effet, elle
exprime que la direction qui fait, avec les axes, des angles
dont les cosinus sont proportionnels a dx, dy/, dz, est perpendiculaire a celle dont les cosinus sont proportionnels
a ax, 3y, y z. D'ou il resulte que la tangente a la ligne
cherchee, menee par l'une quelconque de ses extremites,
est perpendiculaire a toutes les directions suivant lesquelles
cette extremite peut se mouvoir. Elle est done normale a
la courbe ou a la surface sur laquelle doit rester cette
extremite, si elle n'est pas fixe de position.
281. Supposons maintenant que la ligne cherchee soit
assujettie a se trouver sur une surface donnee, ayant pour
equation
F(x, y, z)=o;

il faudra, dans ce cas, satisfaire a l'equation (20), qui se