Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

386. LIVRE IV.
Retranchant de cette equation la precedente, multiplide
pary', il vient
dx \ dx + P "' d- )
(Qyv '+ y' d3Q +
Or il est facile de voir que le second membre de cette
equation est une derivee exacte.
Pour cela, remarquons generalement qu'en designant
par u et v des fonctions quelconques de x, une expression
de la forme
udnv - vdn u
est une differentielle exacte quand n est pair, et
u d" +- vdn u
en est une lorsque n est impair. I1 en resultera que tous
les binomes qui forment le second membre de la derniere
equation seront des derivees exactes, et que, par consequent, on pourra integrer les deux membres de cette equation; ce qui conduira a une equation d'un ordre mnoins
eleve.
Supposons, par exemple, que V ne renferme que y, '
et y". La derniere equation devient
dV (IdN / d 2P
dx ( y - Y ydx / Y dx2 j;
d'ou, en integrant,
(b) V - Ny' + Py" - y' P C,
dx,
equation du troisi6me ordre, tandis que l'equation (a)
etait du quatrieme. Si, en meme temps, V etait indepen