Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTIGRATION DES EQUATIONS DIFFEREENTIELLES. 377
signe la fonction arbitraire w, et cette integrale definie
ne saurait conserver la meme valeur, quelle que fut cette
fonction; le second membre de l'equation (Io) ne serait
done pas constamment nul.
D'ailleurs cette integrale oo dx (M -d_~N dx2 + )
ne peut pas etre nulle, quelle que soit la fonction t), a
moins que la quantite qui la multiplie sous le signefne
soit nulle. En effet, o) etant indetermine pour toutes les
valeurs de x entre x1 et x2 pent etre toujours pris de
meme signe que le second facteur; tous les elements de
l'integrale seraient done positifs, et leur somme ne pourrait etre nulle. 11 serait d'ailleurs indifferent que c0 fit assujetti a certaines conditions pour les valeurs x1 ou x?, parce
que deux elements n'ont aucune influence sur une integrale. On doit done avoir l'equation suivante:
dN d2P d3Q dU
(i3) M- o.
dx dx' dx' - dxn
Cette equation differentielle est generalement de l'ordre
2n, puisque V renferme y('), et que, par consequent, U
peut le renfermer. Elle est necessaire, mais non suffisante,
pour que l'integrale Vf dx soit maximum ou minimum.
t X1
Elle renferme les quantites x, y, y', y..., et fera connaitre y en fonction de x et de an constantes arbitraires.
Considerons maintenant les termes en dehors du signeJ
dans l'equation (Io). Si les variations relatives aux deux
limites sont independantes entre elles, la somme de ces
termes devra etre nulle pour chaque limite.