Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTEGRATION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES. 347
liere, zero par exemple, on peut determiner la fonction f de
ianiere que u soit une fonction arbitraic e de y et z.
Soit X (y, z) une fonction choisie arbitrairement; cherchons si lon peut determiner f de maniere que l'equatior
(5) 2(0o, y, z, U)= f[(o, y, Z ),. (O Y Z, A )]
soit satisfaite, quels que soienty et z, lorsqu'on remplace u
par X (y, z). Pour cela, posons
(6) +(o,y, z, u)=, (oz,,, )=, x ( y,r z) u,
et introduisons les variables independantes v et w au lieu
de y, z; l'equation (5) devra avoir lieu quels que soient
v et w, quand on y aura fait les substitutions fournies par
les equations (6), qui donnent pour u,y, z des fonctions
connues de v, w. Representant par a (^, w) la fonction
connue a laquelle se reduit le premier mermbre de l'quation (5), on aura alors a satisfaire, quels que soient ' et w,
a l'equation
T (v, I') =f(,, W),
ce qui determine la forme de la fonction f.
De quelque maniere, au reste, qu'on elimine u, r, z,
on obtiendra une equation qui renfermera la fonction f
et la determinera. L'equation (4) est done l'integrale generale de l'equation (i), puisqu'elle y satisfait et que, pour
x = o, elle donne pour u une fonction arbitraire de y et z.
I1 est meme a remarquer que l'equation (4) satisfait, quelles
que soient les valeurs des quatre variables x,:y z, u.
Cette methode, due a M. Jacobi, et que nous avons exposee sur une equation entre quatre variables, s'applique
evidemment quel qu'en soit le nombre, et il serait superflu
de rien ajouter a cet egard. I1 ne nous reste qu'a en faire
quelques applications.